Operacja 2n 9153201 E to międzynarodowa operacja zbrojna, która została zainicjowana w listopadzie 2015 roku przez NATO i zakończona w styczniu 2016 roku. Celem tej operacji było wzmocnienie bezpieczeństwa w regionie Morza Śródziemnego, wzmacnianie stabilności regionalnej i wspieranie poszanowania prawa międzynarodowego. W ramach operacji 2n 9153201 E, zaangażowane zostały siły zbrojne z ponad 60 państw, w tym także z Polski, które wykonywały zadania w ramach misji koszarowej i morskiej. W ramach tej misji, polskie siły zbrojne wykonywały działania związane z bezpieczeństwem morskim, w tym nadzorowanie i śledzenie statków, ochronę przed przemytem i przestępczością morską oraz wspieranie i wzmacnianie współpracy międzynarodowej.
Ostatnia aktualizacja: Operacja 2n 9153201 E
ARPOL jest dystrybutorem urządzeń do elektronicznej ochrony mienia: telewizji przemysłowej (CCTV), systemów alarmowych (SSWN), przeciwpożarowych (SAP, PPOŻ), dźwiękowych systemów ostrzegawczych (DSO) i systemów nagłośnieniowych i konferencyjnych (PA), kontroli dostępu (KD). Oferujemy produkty takich firm jak: AXIS, BOSCH, Satel, Genetec, Avigilon, CIAS, Assa Abloy, Dahua, METEL, NEC, Pulsar, Zyxel.
| 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 6 | 4 | 24 | 5 | 120 | 6 | 720 | 7 | 5040 | 8 | 40 320 | 9 | 362 880 | 10 | 3 628 800 | 11 | 39 916 800 | 12 | 479 001 600 | 13 | 6 227 020 800 | 14 | 87 178 291 200 | 15 | 1 307 674 368 000 | 16 | 20 922 789 888 000 | 17 | 355 687 428 096 000 | 18 | 6 402 373 705 728 000 | 19 | 121 645 100 408 832 000 | 20 | 2 432 902 008 176 640 000 | 25 | ∼1, 551 121 004 · 1025 | 50 | ~3, 041 409 32 · 1064 | 70 | ~1, 197 857 167 · 10100 | 100 | ~9, 332 621 544 · 10157 | 450 | ~1, 733 368 733 · 101000 | 1000 | ~4, 023 872 601 · 102567 | 10 000 | ~2, 846 259 681 · 1035 659 | 100 000 | ~2, 824 229 408 · 10456 573 | 1 000 000 | ~8, 263 931 688 · 105 565 708 | 10 000 000 | ~1, 202 423 401 · 1065 657 059 | 10100 | ~109, 956 570 552 · 10101 |
Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.
Zastosowania[edytuj | edytuj kod]
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).
Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]
Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n
Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników
Wartość 0! określa się osobno[2]:
Definicja rekurencyjna silni ma postać:
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
Historia[edytuj | edytuj kod]
Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
Obliczanie[edytuj | edytuj kod]
Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Dla liczb całkowitych wystąpi to już dla 13!
n = 1 n! = 1n = 2 n! = 2n = 3 n! = 6n = 4 n! = 24n = 5 n! = 120n = 6 n! = 720n = 7 n! = 5040n = 8 n! = 40320n = 9 n! = 362880n = 10 n! = 3628800n = 11 n! = 39916800n = 12 n! = 479001600n = 13 int overflow
Przybliżona wartość[edytuj | edytuj kod]
Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:
Wynika z niego także postać logarytmu silni:
Przydatne jest również oszacowanie:
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
gdzie:
Właściwości[edytuj | edytuj kod]
Wzrost[edytuj | edytuj kod]
Wzrost funkcja silnia jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcja wykładniczej(ang. )[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.
Rozkład silni na czynniki pierwsze[edytuj | edytuj kod]
Lemat[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:
to
tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:
gdzie oznacza część całkowitą liczby
Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni[edytuj | edytuj kod]
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
gdzie musi spełniać warunek
Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
- zerami.
Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
Powiązane funkcje i sekwencje[edytuj | edytuj kod]
Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga
Factorion[edytuj | edytuj kod]
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].
Funkcja gamma[edytuj | edytuj kod]
Osobny artykuł: Funkcja Γ.
Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia
Ponieważ więc z powyższego wynika
dla wszystkich liczb naturalnych
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.
Silnia wielokrotna[edytuj | edytuj kod]
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
Silnia podwójna[edytuj | edytuj kod]
Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
Przykład:
Własności podwójnej silni:
zależność od funkcji gamma:
- więc:
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].
- ↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
- ↑ Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2. 4: Orders of magnitude.
- ↑ Eric W. Weisstein, Factorion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang. ).
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. com/Factorial. html">Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.
- How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022 (ang.
- http://factorielle. fr (ang. • fr. • cz. )
Üzlet, levelezési cím:
1139 Budapest, Frangepán u. 26.
Nyitvatartás:
H-Cs: 8:00 - 16:30, P: 8:00 - 16:00
Logisztika/Központi elérhetőségek:
Tel. : +36 1 452-2600
Fax. : +36 1 452-2610
Mail: Írjon nekünk!
